Upakowanie kuleczek o różnych rozmiarach, Nauka i Edukacja [ Pobierz całość w formacie PDF ]
- 1 -
Shuji Yamada
1
Jinko Kanno
2
Miki Miyauchi
3
1
Department of Computer Science
Kyoto Sangyo University, Japan
Mathematics and Statistics Program
Louisiana Tech University, U.S.A.
3
Innovative Communication Lab
NTT Communication Sciencce Labs, Japan
07/04/2009
2
Upakowanie kuleczek o różnych rozmiarach
Przekład, edycja skład:
Robert Wiśniewski
Motywacja
Ogólny problem stanowi korozja konstrukcji mostów.
Wypełnianie porów w betonie materiałem stałym lub
nieporowatym znacznie poprawia wytrzymałość.
Jakie rozmiary nanocząstek są najbardziej efektywne
dla zapewnienia największej gęstości ?
- 2 -
Przypadek 1:
Regularne upakowanie kulek o jednakowych rozmiarach
Dla uproszczenia, zacznijmy modelowanie od kulek o jednakowych średnicach.
Przypuszczenie
Kepplera
(1611), udowodnione później
przez
Halesa
(1998):
Największa gęstość upakowania kul o jednakowych
średnicach w przestrzeni trójwymiarowej wynosi:
Przykładem może być przedstawiona obok krystaliczna
struktura sześcienna o największej gęstości upakowania.
Przypadek 2:
Regularne upakowanie kulek o różnych rozmiarach
Jeśli dodamy mniejsze kulki w celu wypełnienia wolnych przestrzeni poprzedniego upakowania,
uzyskamy dodatkowe zwiększenie stopnia upakowania.
Gdy będziemy zwiększali stosunek rozmiarów kulek,
wówczas uzyskamy poniższą gęstość upakowania:
- 3 -
Upakowanie losowe
W zastosowaniach praktycznych, nanoczasteczki są pakowane losowo i gęstość upakowania będzie
niższa od najbardziej gęstego upakowania regularnego.
W literaturze można napotkać na dwa odrębne upakowania losowe gdy kuleczki będą umieszczane w
zbiorniku:

Najściślejsze upakowanie losowe – Wstrząsanie zbiornika po upakowaniu losowym

Najluźniejsze upakowanie losowe – Bez wstrząsania zbiornika po upakowaniu losowym
Najściślejsze upakowanie losowe
W eksperymentach przeprowadzonych w roku 1969, przy pakowaniu kulek stalowych o jednakowych
średnicach w zbiorniku i ich wytrząsaniu, uzyskano przybliżoną gęstość najściślejszego upakowania
losowego równą 0,64.
Gęstość najściślejszego upakowania losowego kulek
G.D. SCOTT

D.M. KILGOUR
Wydział Fizyki Uniwersytetu w Toronto, Toronto, Kanada
Wpłynęło: 10 lutego 1969
Streszczenie: Modele losowego upakowania twardych kulek wykazują pewne właściwości prostych cieczy, np.
gęstość upakowania i rozkład promieniowy Wartość największego stopnia upakowania kulek można
wyznaczyć na podstawie modeli jeśli zachowa się warunki pakowania losowego i jeśli wprowadzi się
poprawkę na objętość graniczną obszaru pakowania. Podano wyniki eksperymentów najluźniejszego oraz
najściślejszego pakowania kulek o średnicy ½ cala wykonanych z plexi, nylonu i stali w powietrzu oraz ze
stali zanurzonych w oleju. Wykonywano wiele doświadczeń korzystając z ponad 80 000 kulek stalowych z
zastosowaniem wibratora mechanicznego. Analiza komputerowa wyników pozwoliła w jednym kroku na
wykonanie dwuparametrowej ekstrapolacji do nieskończonej objętości. Uzyskano współczynnik
najściślejszego upakowania losowego równy 0,6366  0,0005, który reprezentuje większa dokładność
w porównaniu z wcześniej uzyskiwanymi wynikami.
- 4 -
Najluźniejsze upakowanie losowe
Istnieją rożne definicje najluźniejszego upakowania losowego, zgodnie z którymi można losowo
pakować kuleczki.
Nasza metoda pakowania
Umieszczaliśmy środek nowej kuleczki w punkcie o nazwie
pit
), której współrzędna-
z
znajdowała się w najniższym
położeniu, pionowym, gdzie nowa kuleczka stykała się
z trzema wcześniej umieszonymi trzema kuleczkami.
Eksperymenty z najluźniejszym upakowaniem losowym
Pakowaliśmy kuleczki o promieniach 0,02 w zbiorniku C o wymiarach 2 x 2 x 2 mającym podstawę
o kształcie losowym.

Liczba upakowanych kulek: 126 856

Średnia gęstość upakowania wokół środka
zbiornika C wynosiła około 0,604

Wpływ odległości od granicy zbiornika C
stanowił około 30 % promienia kulki
- 5 -
Wpływ odległości od ścianek granicy zbiornika C
Rozkład gęstości upakowania wokół

C
.
Skala pozioma wyznacza odległość od

C
(jednostka = promień kulki).
Rozkład gęstości upakowania wokół

C
.
Skala pozioma wyznacza odległość od

C
(jednostka = promień kulki).
Rozkład gęstości upakowania wokół

C
.
Zakładając średnią gęstość upakowania
0,604 można obliczyć jaki błąd wokół

C
popełniamy w odległości od 0 do 30 %
promienia kulki
Skala pozioma wyznacza odległość od

C
(jednostka = promień kulki).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]