vademecum gimnazjalisty - matematyka - OPERON - fragment, nauka; szkoła; edukacja; kształcenie, Matematyka [ Pobierz całość w formacie PDF ]
13.1. Uk∏ad wspó∏rz´dnych kartezjaƒskich
13.
Funkcje
13.1.
UK¸AD WSPÓ¸RZ¢DNYCH KARTEZJA¡SKICH
Y
Prostokàtny uk∏ad wspó∏rz´d-
nych
to dwie wzajemnie pros-
topad∏e osie liczbowe o wspólnym
punkcie 00
8
oÊ rz´dnych
_ i, zwanym poczàt-
kiem uk∏adu wspó∏rz´dnych.
OÊ poziomà (oÊ
OX
) nazywamy
osià odci´tych, a oÊ pionowà (oÊ
OY
) nazywamy osià rz´dnych.
Osie te dzielà p∏aszczyzn´ na
cztery çwiartki.
W uk∏adzie wspó∏rz´dnych
mo˝na opisaç po∏o˝enie ka˝-
dego punktu za pomocà jego
wspó∏rz´dnych (np.:
II çwiartka
6
I çwiartka
4
P=
(5, 3)
2
–
8
–
6
–
4
–
2
0
2
468
X
–
2
_ i).
Zawsze jako pierwszà wspó∏-
rz´dnà wymieniamy t´, którà
odczytujemy na osi
X
, a jako
drugà t´, którà odczytujemy na
osi
Y
.
P
53
,
oÊ odci´tych
–
4
III çwiartka
IV çwiartka
–
6
Y
6
K=
(
–
5, 3)
4
P=
(5, 3)
Punkty, których pierwsze
wspó∏rz´dne sà liczbami przeci-
wnymi, a drugie sà takie same,
sà po∏o˝one po przeciwnych
stronach osi
OY
i w tej samej
odleg∏oÊci od tej osi, na przy-
k∏ad:
punkt
2
–
8
–
6
–
4
–
2
0
2
4
6
8
X
–
2
K
=-
_
53
,
i i punkt
_ i
oraz punkt
=
,
–
4
M
=- -
_
74
,
i
M=
(
–
7,
–
4)
N=
(7,
–
4)
i punkt
N
74
=-
_
,
i.
Y
6
S
= (7, 5)
H
= (
–
3, 4)
4
Punkty, których drugie wspó∏-
rz´dne sà liczbami przeciwnymi,
a pierwsze sà takie same, sà po-
∏o˝one po przeciwnych stronach
osi
OX
i w tej samej odleg∏oÊci
od tej osi, na przyk∏ad:
punkt
2
–
8
–
6
–
4
–
2
0
2
468
X
–
2
H
=-
_
34
,
i
i punkt
L
=- -
_
34
,
i
–
4
oraz punkt
S
75
=
_ i
i punkt
,
L
= (
3,
4)
–
–
D
75
=-
_
,
i.
–
6
D
= (7,
–
5)
75
=
P
53
13. Funkcje
Y
Y
8
(8, 8)
(7, 7)
(6, 6)
(5, 5)
(4, 4)
(3, 3)
(2, 2)
(1, 1)
8
6
6
(0, 5)
4
4
2
2
(0, 2)
–
8
–
6
–
4
–
2
–
2
(0, 0)
(
–
1,
–
1)
0
2
468
X
0
2
X
(
–
2,
–
2)
–
2
–
2
(0,
–
2)
(
–
3,
–
3)
(
–
4,
–
4)
–
4
–
4
(
–
5,
–
5)
–
6
–
6
(0,
–
7)
–
8
–
8
Punkty, których obie wspó∏rz´dne majà jednakowà wartoÊç, na
przyk∏ad
A
11
=
_,
,
B
=- -
_
33
,
i,
O
00
=
_ i, le˝à na prostej o rów-
,
Punkty, których pierwsza
wspó∏rz´dna jest równa zero,
le˝à na osi
OY
.
naniu
yx
=
.
Y
CHCESZ WIEDZIEå WI¢CEJ?
2
Inna nazwa prostokàtne-
go uk∏adu wspó∏rz´dnych to
uk∏ad wspó∏rz´dnych karte-
zjaƒskich. Nazwa ta pocho-
dzi od nazwiska jego twórcy
– Kartezjusza (1596-1650),
autora s∏ynnego powiedze-
nia „MyÊl´, wi´c jestem”.
–
8
–
6
–
4
–
2
(1, 0) (4, 0) (7, 0)
(
–
7, 0) (
–
4, 0) (0, 0)
0
2
468
X
–
2
Punkty, których druga wspó∏rz´dna jest równa zero, le˝à na osi
OX
.
13.2.
DEFINICJA FUNKCJI I SPOSOBY JEJ OPISYWANIA
Funkcjà
okreÊlonà na zbiorze
X
o wartoÊciach
w zbiorze
Y
nazywamy takie przyporzàdkowanie,
które
ka˝demu
elementowi
xX
!
przyporzàdko-
X
– zbiór argumentów lub dziedzina funkcji
Y
– zbiór, do którego nale˝à wartoÊci funkcji
x
– argument funkcji
y
– wartoÊç funkcji
wuje jeden element
yY
!
.
13.2.1.
Opis s∏owny
PRZYK¸ADY
Uwaga!
Nie ka˝de przyporzàdkowanie jest funkcjà!
„Ka˝demu uczniowi klasy III a przyporzàd-
kowujemy jego numer w dzienniku”.
„Ka˝dej liczbie ze zbioru {, , }
PRZYK¸AD
przy-
porzàdkowujemy liczb´ do niej przeciwnà”.
„Ka˝demu kwadratowi przyporzàdkowuje-
my jego pole”.
A
246
=
„Ka˝demu miastu Polski przyporzàdkowuje-
my rzek´, która przez to miasto przep∏ywa”.
To przyporzàdkowanie nie jest funkcjà, bo
sà miasta w Polsce, które nie le˝à nad rzekà.
76
13.2. Definicja funkcji i sposoby jej opisywania
13.2.2.
Graf
PRZYK¸AD
Graf opisuje funkcj´, której dziedzinà jest pier-
wszy zbiór (z którego strza∏ki wychodzà),
zbiorem wartoÊci – drugi zbiór, a przyporzàd-
kowanie jest zapisane za pomocà strza∏ek.
1
2
3
4
4
3
2
1
PRZYK¸ADY
K
0
1
a
L
1
1
2
b
c
M
3
3
d
– ten graf przedstawia funkcj´ (z ka˝dego ele-
mentu pierwszego zbioru wychodzi jedna
strza∏ka)
– ten graf nie przedstawia funkcji (z jednego
z elementów pierwszego zbioru wychodzà
dwie strza∏ki)
1
a
A
1
B
2
2
b
C
5
D
3
c
4
E
7
– ten graf nie przedstawia funkcji (istnieje ele-
ment w pierwszym zbiorze, z którego nie
wychodzi ˝adna strza∏ka)
– ten graf przedstawia funkcj´ (z ka˝dego ele-
mentu pierwszego zbioru wychodzi jedna
strza∏ka).
13.2.3.
Tabela
Tabela opisuje funkcj´, której dziedzinà sà wszystkie elementy w pierwszym wierszu, a zbiorem
wartoÊci sà wszystkie elementy z drugiego wiersza. Elementowi z pierwszego wiersza przyporzàd-
kowany jest element z drugiego wiersza, który le˝y bezpoÊrednio pod nim.
PRZYK¸AD
x
y
1
3
3
5
5
7
7
9
9
11
11
13
dziedzina funkcji
zbiór wartoÊci funkcji
x
y
2
4
5
7
7
8
5
9
6
10
8
12
– ta tabela nie opisuje funkcji, gdy˝ argumentowi
5 przyporzàdkowane sà dwie liczby
13.2.4.
Wzór
PRZYK¸ADY
!
Wzór opisuje funkcj´, której zarówno dzie-
dzina, jak i zbiór wartoÊci nale˝à do liczb rze-
czywistych.
Uwaga!
Powy˝szà funkcj´ mo˝na te˝ zapisaç za pomocà
wzoru
fx
23
=+
,
x
R
Inne przyk∏ady wzorów funkcji:
yx
4
=- +
dla
x
!
R
5
!
yx
43
=
x
dla
x
0
2
=+-
dla
x
!
R
yx
1
=+
dla
x
!
R
_i
.
f
_i
jest to wartoÊç funkcji
f
okreÊlonej danym wzorem dla argumentu
x
.
=+
y
=
NWD
_idla
x
x
1
,
!
+
y
=
r
x
2
dla
x
!
_
0
,
3
i
77
y
23
y
$
13. Funkcje
13.2.5.
Wykres
W funkcji przedstawionej za pomocà wykresu
argument
x
to pierwsza wspó∏rz´dna, tzw. „od-
ci´ta” (odczytywana na poziomej osi
OX
),
a wartoÊç
y
to druga wspó∏rz´dna, tzw. „rz´dna”
(odczytywana na pionowej osi
OY
).
PRZYK¸AD
Y
(
x
,
y
1
)
PRZYK¸AD
Y
(
x
,
y
)
X
(
x
,
y
2
)
X
Ta krzywa nie przedstawia funkcji, bo jednej
liczbie
x
przyporzàdkowane sà dwie liczby
y
1
i
y
2
.
13.3.
W¸ASNOÂCI FUNKCJI
13.3.1.
Miejsce zerowe funkcji
, dla którego wartoÊç funkcji
f
jest równa
zero (
fx
0
!
Y
_i ). Na wykresie miejscem zerowym
jest odci´ta punktu przeci´cia si´ wykresu
funkcji z osià
OX
.
Miejsce zerowe funkcji mo˝emy tak˝e obliczyç,
rozwiàzujàc równanie
fx
0
=
_i .
=
x
1
x
2
X
PRZYK¸AD
Znajdê miejsce zerowe
funkcji
y
42
Wiemy, ˝e dla miejsca zerowe-
go
fx
0
x
=- =-
2
1
4
2
=+
,
x
!
R
.
_i , to znaczy
x
420
=
1
Miejsce zerowe to
-
.
fx
42
_i
=+
+=
x
42
2
=-
13.3.2.
MonotonicznoÊç funkcji
Funkcja
f
jest
rosnàca
, gdy
wraz ze wzrostem argumentów
rosnà wartoÊci funkcji, to zna-
czy dla ka˝dego
xX
1
!
i
xX
2
!
Funkcja
f
jest
malejàca
, gdy
wraz ze wzrostem argumentów
malejà wartoÊci funkcji, to zna-
czy dla ka˝dego
xX
1
!
i
xX
2
!
Funkcja
f
jest
sta∏a
, gdy wraz
ze wzrostem argumentów war-
toÊç funkcji nie ulega zmianie
(jest sta∏a), to znaczy dla ka˝-
dego
xX
1
takich, ˝e
xx
1
2
, zachodzi:
takich, ˝e
xx
1
2
, zachodzi:
!
i
xX
2
!
zachodzi:
fx fx
1
j
<
`
2
j.
fx fx
1
j
>
`
2
j.
fx fx
1
`
j
=
`
2
j
.
Y
Y
Y
X
X
X
78
Miejsce zerowe funkcji jest to ten argument
xX
`
`
[ Pobierz całość w formacie PDF ]