Urbański P - Geometryczne podstawy mechaniki analitycznej, Biologia Medycyna i nie tylko - Hasło UCZENIE !!!, ... [ Pobierz całość w formacie PDF ]
GEO.TEX
March 1, 2005
Geometryczne podstawy mechaniki analitycznej
Pawel Urbanski
Division of Mathematical Methods in Physics
University of Warsaw
Hoza 74, 00-682 Warszawa
1. Trochƒ topologii.
Topologi¡ na zbiorze M nazywamy rodzinƒ
podzbior
ó
w M o nastƒpuj¡cych w“asno-
–ciach:
(a) ;;M 2
(b) je»eli O
1
;O
2
2
, to O
1
\O
2
2
(c) dla dowolnej rodziny (O
)
2I
zbior
ó
w nale»acych do
ich suma
S
2I
O
2
.
Podzbiory nale»¡ce do rodziny
nazywamy zbiorami otwartymi. Zbi
ó
r M z ustalon¡ topo-
logi¡
nazywamy przestrzeni¡ topologiczn¡.
1.1. Aksjomaty oddzielania. Ze wzglƒdu na w“asno–ci oddzielania wyr
ó
»nimy nastƒpu-
j¡ce klasy topologii:
T
1
Dla ka»dej pary r
ó
»nych punkt
ó
w x;y 2 M istnieje zbi
ó
r otwarty O taki, »e x 2 O
oraz y 62 O. W takiej przestrzeni zbi
ó
r jednopunktowy jest domkniƒty.
T
2
Dla ka»dej pary r
ó
»nych punkt
ó
w x;y 2 M istniej¡ zbiory otwarte O;U takie, »e
x 2 O; y 2 U oraz O \U = ;. Przestrze« z topologi¡ o tej w“asno–ci nazywa siƒ
przestrzeni¡ Hausdora.
T
3
Dla ka»dego punktu x 2 M oraz zbioru domkniƒtego A
M takiego, »e x 62 A
istniej¡ zbiory otwarte O;U
M takie, »e x 2 O; A
U oraz O \ U = ;. Za-
k“ada siƒ przy tym, »e zbi
ó
r jednopunktowy jest domkniƒty (przestrze« jest typu
T
1
). Przestrze« z topologi¡ z tymi w“asno–ciami nazywa siƒ przestrzeni¡ regularn¡.
T
4
Dla ka»dej pary roz“¡cznych zbior
ó
w domkniƒtych A;B
M; A\B = ; istniej¡
roz“¡czne zbiory otwrte O;U takie, »e A
O; B
U. Jak i poprzednio zak“ada
siƒ, »e zbi
ó
r jednopunktowy jest domkniƒty (przestrze« jest typu T
1
). Przestrze« z
topologi¡ o tej w“asno–ci nazywa siƒ przestrzeni¡ normaln¡.
Przestrzenie normalne s¡ dla nas interesuj¡ce ze wzglƒdu na poni»sze podstawowe twier-
dzenie, ze wzglƒd
ó
w historycznych nazywane lematem.
Twierdzenie 1 (lemat Urysohna). Je»eli A i B s¡ domkniƒtymi zbiorami w przestrzeni
normalnej M oraz A\B = ;, to istnieje funkcja ci¡g“a f : M !R taka, »e
1 dla x 2 B
0 dla x 2 A
Dowod: (Szkic): Chcemy
zb
udowa¢ rodzinƒ zbior
ó
w otwartych fU
w
g, gdzie w 2Q\[0; 1] i
takich, »e je»eli w < w
0
, to U
w
U
w
0
oraz A
U
0
, B = MnU
1
. Niech (w
n
) bƒdzie ci¡giem
wszystkich liczb wymiernych z przedzia“u [0; 1] takim, »e w
1
= 0 oraz w
2
= 1. Przestrze«
jest normalna, wiƒc istniej¡ roz“
¡c
zne zbiory otwarte U
A i O
B. K“adziemy U
0
= U i
U
1
= M nB. Mamy oczywi–cie U
0
U
1
. Za“
ó
»my teraz, »e mamy ju» zbudowan¡ rodzinƒ
U
w
0
::: U
w
n
. Wybierzmy z ci¡gu w
0
::: w
n
dwie liczby: liczbƒ w
l
najbli»sz¡ w
n+1
spo–r
ó
d
mniejszyc
h o
d niej i liczbƒ w
p
na
jbli»sz¡ w
n+1
spo–r
ó
d wiƒkszych od niej. Mamy oczywi–cie
w
l
< w
p
i U
w
l
U
w
p
. Zbiory U
w
l
i M nU
w
p
s¡ d
om
kniƒte i roz“¡czne, wiƒc z normalno–ci
pr
zestrzeni istniej¡ roz“¡czne zbiory otwarte U
U
w
l
i O
(M nU
w
p
). Wynika st¡d, »e
U
U
w
p
. K“adziemy U
w
n+1
= U.
Maj¡c rodzinƒ (U
w
) deniujemy funkcjƒ f: M ! [0; 1] wzorem
f(x) =
f(x) =
inf
x2U
w
w:
Pokazuje siƒ, »e funkcja f jest ci¡g“a.
1
Twierdzenie 2 (Tietze{Urysohn). Niech A bƒdzie zbiorem domkniƒt
ym
w przestrzeni
normalnej M. Dla ka»dej funkcji ci¡g“ej f : A !R istnieje funkcja ci¡g“a f : M !R taka,
»e f(x) = f(x) dla x 2 A.
1.2. Przestrzenie parazwarte. M
ó
wimy, »e rodzina zbior
ó
w otwartych (O
)
2I
tworzy
pokrycie M, je»eli [
2I
O
= M. M
ó
wimy, »e pokrycie (U
)
2A
jest wpisane w pokrycie
(O
)
2I
je»eli dla ka»dego 2 A istnieje
2 I takie, »e U
O
.
Pokrycie (O
)
2I
nazywamy lokalnie sko«czonym, je»eli dla ka»dego x 2 M istnieje oto-
czenie U 3 x takie, »e U \O
6= ; tylko dla sko«czonej liczby wska„nik
ó
w.
Definicja 1. Przestrze« topologiczn¡ Hausdora (M;
) nazywamy parazwart¡ je»eli w
ka»de pokrycie otwarte przestrzeni mo»na wpisa¢ pokrycie lokalnie sko«czone.
Pokazuje siƒ, »e ka»da przestrze« parazwarta jest normalna.
2. Rozmaito–ci r
ó
»niczkowe.
Niech M bƒdzie przestrzeni¡ topologiczn¡. Map¡ w M nazywamy tr
ó
jkƒ c = (U;’;m),
gdzie U jest otwartym podzbiorem M, m jest nieujemn¡ liczb¡ ca“kowit¡ i ’ jest home-
omorzmem U na otwarty podzbi
ó
r ’(U) w R
m
. Zbi
ó
r U jest nazywany dziedzin¡ mapy c,
a liczba m wymiarem mapy c.
Niech c = (U;’;m) bƒdzie map¡ w M i niech B bƒdzie otwartym podzbiorem M, za-
wartym w U. Tr
ó
jka cjB = (B;’jB;m) jest map¡ w M nazywan¡ obciƒciem mapy c do
B.
Dwie mapy c = (U;’;m) and c
0
= (U;’
0
;m
0
) z t¡ sam¡ dziedzin¡ U s¡ zgodne je»eli dwa
homeomorzmy
’
0
’
1
: ’(U) ! ’
0
(U)
(1)
i
’’
01
: ’
0
(U) ! ’(U) (2)
s¡ r
ó
»niczkowalne. R
ó
»niczkowalne bƒdzie zawsze oznacza¢ niesko«czenie r
ó
»niczkowalne,
czyli klasy C
1
. Wymiary m i m
0
zgodnych map s¡ r
ó
wne. Dwie dowolne mapy c = (U;’;m)
i c
0
= (U
0
;’
0
;m
0
) nazywamy zgodnymi je–li albo U \U
0
jest zbiorem pustym albo obciƒcia
c i c
0
do U \ U
0
s¡ zgodne. Atlas na M jest zbiorem parami zgodnych map takich, »e
ich dziedziny stanowi¡ pokrycie M. Je»eli ka»da mapa zgodna z mapami atlasu nale»y do
tego atlasu, to m
ó
wimy, »e atlas jezt zupe“ny lub maksymalny. Ka»dy atlas generuje atlas
maksymalny.
Definicja 2. Rozmaito–ci¡ r
ó
»niczkow¡ nazywamy topologiczn¡ przestrze« Hausdora M
z atlasem maksymalnym. Elementy atlasu nazywamy mapami rozmaito–ci r
ó
»niczkowej M.
Rozmaito–¢ r
ó
»niczkow¡ nazywa¢ bƒdziemy czyst¡ o wymiarze m je–li wszystkie jej mapy
s¡ wymiaru m.
W dalszym ci¡gu rozpatrywa¢ bƒdziemy tylko czyste rozmaito–ci.
Zbi
ó
r R
m
posiada kanoniczn¡ strukturƒ rozmaito–ci r
ó
»niczkowej zdeniowan¡ przez atlas
zupe“ny generowany atlasem sk“adaj¡cym siƒ z jednej mapy (R
m
; 1
R
m
;m).
Niech c = (U;’;m) bƒdzie map¡ rozmaito–ci M i niech pr
:R
m
!R bƒdzie kanonicznym
rzutowaniem dla
= 1;::: ;m. Funkcje x
= pr
j’(U) ’: U ! R nazywamy lokalnymi
wsp
ó
“rzƒdnymi dla mapy c.
Niech
bƒdzie odwzorowaniem z rozmaito–ci r
ó
»niczkowej M do rozmaito–ci r
ó
»niczkowej
N i niech c = (U;’;m) oraz d = (V; ;n) bƒd¡ mapami odpowiednio M i N takimi, »e
(U)
V . Odwzorowanie
’
1
: ’(U) ! (V )
(3)
nazywamy lokalnym wyra»eniem odwzorowania
w mapach c i d.
Definicja 3. Niech M i N bƒd¡ rozmaito–ciami r
ó
»niczkowymi. Odwzorowanie
: M ! N
nazywamy r
ó
»niczkowalnym je»eli wszystkie jego lokalne wyra»enia s¡ r
ó
»niczkowalne. Dy-
feomorzm jest bijektywnym odwzorowaniem r
ó
»niczkowalnym z r
ó
»niczkowalnym odwzo-
rowaniem odwrotnym.
2
 Zbi
ó
r odwzorowa« r
ó
»niczkowalnych z M do N jest oznaczany C
1
(N;M). Oczywistym
jest, »e z“o»enie odwzorowa« r
ó
»niczkowalnych rozmaito–ci jest odwzorowaniem r
ó
»niczko-
walnym.
Zbi
ó
r C
1
(R;M) wszystkich funkcji r
ó
»niczkowalnych na M jest przemienn¡ algebr¡
“¡czn¡ nad cia“em R. Oznacza¢ j¡ bƒdziemy C(M).
Definicja 4. Niech U bƒdzie otoczeniem punktu q 2 M. M
ó
wimy, »e r
ó
»niczkowalna
funkcja h: M !R separuje punkt q w zbiorze U je»eli
(a) istnieje otoczenie V punktu q takie, »e hjV = 1
oraz
(b) istnieje otwarty zbi
ó
r W taki, »e U [W = M i hjW = 0.
R
ó
wno–ci hjV = 1 i hjW = 0 implikuj¡, »e zbiory V i W s¡ roz“¡czne. Wynika st¡d, »e
V
U, bo U [W = M.
Zauwa»my, »e je»eli funkcja h separuje punkt q w otoczeniu U i f jest funkcj¡ na M tak¡,
»e fjU = 0, wtedy hf = 0. Je»eli U i U
0
s¡ otoczeniami punktu q, U
U
0
i funkcja h
separuje q in U, to h separuje q w U
0
.
Stwierdzenie 1. Dla ka»dego otoczenia U punktu q 2 M istnieje nieujemna funkcja h
separuj¡ca q w U.
Dowod: Wiadomo, »e funkcja
:R!R
0
dla t
0
: t 7!
(4)
exp(t
1
)
dla t > 0
jest niesko«czenie wiele razy r
ó
»niczkowalna.
Zauwa»my, »e
exp((t")
1
) > 0
dla t < "
("t) =
(5)
0
dla t
"
i
0
dla t
"=2
(t"=2) =
(6)
exp(("=2 t)
1
) > 0
dla t > "=2:
Zatem
("t) + (t"=2) > 0:
(7)
Wynika st¡d, »e funkcja
"
:R7!R
("t)
("t) + (t"=2)
: t 7!
(8)
jest niesko«czenie r
ó
»niczkowalna. Mamy
"
(t) = 1 dla t < "=2 i
"
(t) = 0 dla t > ". W
przedziale ["=2;"] funkcja
"
maleje monotonicznie.
Niech U bƒdzie dziedzin¡ mapy c = (U;’;m) zawieraj¡c¡ punkt q 2 M i niech x
(k =
1;::: ;m) bƒd¡ lokalnymi wsp
ó
“rzƒdnymi tej mapy. Niech " bƒdzie dodatni¡ liczb¡ tak¡, »e
domkniƒta kula
(
)
X
(q
0
) 2R
m
;
(q
0
q
)
2
"
2
B(q
;") =
(9)
=1
jest zawarta w ’(U). Niech V bƒdzie przeciwobrazem ’
1
(B(q
;"=2)) otwartej kuli
(
)
X
(q
0
) 2R
m
;
(q
0
q
)
2
"
2
=4
B(q
;"=2) =
:
(10)
=1
3
 Zbi
ó
r
W = M n’
1
B(q
;")
(11)
jest otwarty i U [W = M. Funkcja
h: M !R
p
P
m
=1
(x
(q
0
) x
(q))
2
(
dla q
0
2 U
"
: q
0
7!
dla q
0
62 U
0
jest niesko«czenie r
ó
»niczkowalna, hjV = 1 i hjW = 0. Zatem h separuje q w U. Je»eli
U nie jest dziedzin¡ mapy, to funkcjƒ h separuj¡c¡ q w U dostaniemy stosuj¡c powy»sz¡
konstrukcjƒ do dowolnej dziedziny mapy, zawieraj¡cej q i zawartej w U.
Stwierdzenie 1. Odwzorowanie : M ! N jest r
ó
»niczkowalne wtedy, gdy dla ka»dej
funkcji r
ó
»niczkowalnej f 2C(N) mamy
f = f 2C(M):
Dowod: Je»eli odwzorowanie jest r
ó
»niczkowalne i f 2C, to f jest r
ó
»niczkowalna,
bo z“o»enie odwzorowa« r
ó
»niczkowalnych jest r
ó
»niczkowalne.
Niech teraz f 2C(M) dla ka»dej funkcji f 2C(N). Lokalne wyra»enie
’
1
: ’(U) ! (V )
w mapach c = (U;’;m) oraz d = (V; ;n) jest r
ó
»niczkowalne, je»eli jest r
ó
»niczkowalne w
ka»dym punkcie. Niech q 2 U i niech funkcja h 2C(N) separuje (q) w V . Odwzorowanie
h mo»na przed“u»y¢ zerem do odwzorowania g“adkiego
e
na ca“ym N. Na mocy za“o»enia
wsp
ó
“rzƒdne tego odwzorowania s¡ funkcjami g“adkimi, zatem
e
i
e
’
1
s¡ od-
wzorowaniami g“adkimi. Poniewa» w otoczeniu ’(q) odwzorowanie
e
’
1
jest r
ó
wne
’
1
, wiƒc to ostatnie jest r
ó
»niczkowalne (g“adkie) w ’(q).
Warunek z denicji rozmaito–ci, »e M jest przestrzeni¡ Hausdora jest istotny. Nie wynika
on z istnienia atlasu, co ilustruje poni»szy przyk“ad.
Niech:
R
2
B = f(x;y) 2R
2
: y = 0 lub y = 1g:
Topologia na B jest topologi¡ z R
2
. W B wprowadzamy relacjƒ r
ó
wnowa»no–ci
: (x
1
;y
1
)
(x
2
;y
2
) , (x
1
= x
2
) i ((y
1
= y
2
) lub (x
1
> 0)):
Wtedy B=
nie jest Hausdora, bo ka»da para otocze« punkt
ó
w A = (0; 0) i B = (0; 1) ma
niepuste przeciƒcie. W oczywisty spos
ó
b wprowadzamy na B lokalne uk“ady wsp
ó
“rzƒdnych.
2.1. Rozmaitosci parazwarte. Rozklad jednosci. W–r
ó
d rozmaito–ci r
ó
»niczkowych
szczeg
ó
ln¡ rolƒ odgrywaj¡ rozmaito–ci parazwarte. Do tego stopnia, »e na og
ó
“ »¡danie
parazwarto–ci jest elementem denicji.
Przypomnijmy, »e przestrze« jest parazwarta, je»eli w ka»de pokrycie (zbiorami otwar-
tymi) mo»na wpisa¢ pokrycie lokalnie sko«czone.
Zauwa»my teraz, »e je»eli dana jest funkcja g“adka h: M !R oraz zbi
ó
r otwarty U
M,
to zbi
ó
r punkt
ó
w kt
ó
re funkcja h separuje w U jest otwarty.
Stwierdzenie 2. Niech M bƒdzie rozmaito–ci¡ parazwart¡. Dla ka»dego pokrycia zbiorami
otwartymi (U
)
2A
istniej¡ wpisane we« pokrycie (O
)
2I
oraz rodzina nieujemnych funkcji
(h
i
)
2I
takie, »e
a) (O
)
2A
jest pokryciem lokalnie sko«czonym,
b) (V
)
2I
jest pokryciem M, gdzie V
jest niepustym zbiorem punkt
ó
w separowanych
w O
przez h
.
4
 Stwierdzenie to pozostawimy bez (niezbyt skomplikowanego) dowodu. Wynika z niego
podstawowe dla zastosowa« twierdzenie o istnieniu rozk“adu jedno–ci.
Definicja 5. Rozk“adem jedno–ci na M nazywamy rodzinƒ funkcji (f
) tak¡, »e
a) dla ka»dego punktu q 2 M istnieje otoczenie U takie, »e tylko sko«czona liczba
funkcji z tej rodziny jest r
ó
»na od zera na U,
b) funcje f
s¡ nieujemne,
c)
P
f
(q) = 1 dla ka»dego q 2 M.
W“asno–¢ a) nazywa siƒ lokaln¡ sko«czono–ci¡ rodziny
Twierdzenie 3. Dla ka»dego pokrycia (U
)
2A
rozmaito–ci parazwartej M istnieje roz-
k“ad jedno–ci (f
)
2I
taki, »e dla ka»dego
istnieje (
) 2 A, »e supp f
U
(
)
.
Dowod: Ze Stwierdzenia 2 wynika istnienie lokalnie sko«czonej rodziny nieujemnych funk-
cji (h
i
)
2I
takiej, »e dla kazdego
istnieje 2 A takie, »e supp h
i
U
oraz »e dla ka»dego
q 2 M istnieje funkcja h
z tej rodziny dla kt
ó
rej h
(q) = 1. Wynika st¡d, »e h =
P
h
ma
sens i jest dodatni¡ funkcj¡ r
ó
»niczkowaln¡. Teraz wystarczy po“o»y¢ f
=
h
h
.
Š
atwo zauwa»y¢, »e z istnienia rozk“adu jedno–ci wpisanego w dowolne otoczenie wynika
parazwarto–¢. Zatem dla rozmaito–ci parazwarto–¢ jest r
ó
wnowa»na istnieniu (dla ka»dego
pokrycia) r
ó
»niczkowalnego rozk“adu jedno–ci.
2.2. Rozpoznawanie parazwarto–ci. Z faktu, »e lokalnie M jest dieomorczne oto-
czeniu otwartemu w R
m
wynika, »e M jest przestrzeni¡ lokalnie zwart¡, tzn. ka»dy punkt
posiada zwarte otoczenie. Ta w“asno–¢ pozwala “atwiej rozpoznawa¢ rozmaito–ci parazwarte.
Twierdzenie 4. Lokalnie zwarta przestrze« M jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy
jest sum¡ M =
S
1
i=1
K
i
przeliczalnej rodziny zbior
ó
w zwartych.
Definicja 6. M
ó
wimy, »e pewna rodzina (O
)
2
zbior
ó
w otwartych tworzy bazƒ topologii,
gdy dowolny zbi
ó
r otwarty jest sum¡ zbior
ó
w nale»¡cych do tej rodziny.
Przyk“ad 1. Na przyk“ad w R
n
istnieje przeliczalna baza topologii. Jako zbiory bazowe
bierzemy kule o –rodku w punkcie o wsp
ó
“rzƒdnych wymiernych i o promieniu wymiernym.
Twierdzenie 5. Dla rozmaito–ci M nastƒpuj¡ce warunki s¡ r
ó
wnowa»ne
(1) M jest parazwarta,
(2) M posiada przeliczaln¡ bazƒ topologii,
(3) M jest o–rodkowa, tzn. posiada przeliczalny zbi
ó
r gƒsty,
(4) M jest sum¡ przeliczalnej rodziny zbior
ó
w zwartych.
Przyklad spojnej rozmaitosci nieparazwartej. Zdeniujmy p
ó
“przestrzenie w R
2
:
R
2
+
= f(x;y) 2R
2
: y > 0g;
R
2
= f(x;y) 2R
2
: y60g
oraz rodzinƒ odwzorowa«
f
a
:R
2
+
!R
2
+
: (x;y) 7! (a + yx;y):
(12)
W zbiorze R
2
R wprowadzamy relacjƒ r
ó
wnowa»no–ci:
a = a
0
; (x;y) = (x
0
;y
0
); dla (x;y) 2R
2
f
a
(x;y) = f
a
0
(x
0
;y
0
);
(x;y;a)
(x
0
;y
0
;a
0
)
:
(13)
dla (x;y) 2R
2
+
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]