Urbański P - Teoria Grup II, Biologia Medycyna i nie tylko - Hasło UCZENIE !!!, Matematyka, Algebra i Geometria [ Pobierz całość w formacie PDF ]
GRUPY.TEX
March 5, 2013
TEORIA
GRUP
II
1. Algebry, ró»niczkowania w algebrach.
Algebr¡ nazywamy przestrze« wektorow¡ A z działaniem mno»enia, które jest odwzorowa-
niem biliniowym. W szczególno±ci, mno»enie jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Algebra
(A,·) jest ł¡czna, je»eli mno»enie jest ł¡czne. Algebra (A,·) jest algebr¡ Leibniza, je»eli
mno»enie spełnia to»samo±¢ Jacobiego
a· (a
0
·a
00
) = (a·a
0
) ·a
00
+ a
0
· (a·a
00
).
Je»eli ponadto mno»enie jest antyprzemienne, a·a
0
= −a
0
·a, to algebra jest algebr¡ Liego.
Przykłady 1.
(1) Funkcje na dowolnej przestrzeni tworz¡ algebr¦ ł¡czn¡ i przemienn¡ ze wzgl¦du na
mno»enie. Na przestrzeni topologicznej jej podalgebr¡ s¡ funkcje ci¡głe, na rozmaito-
±ci ró»niczkowej funkcje gładkie, a na przestrzeni wektorowej funkcje wielomianowe.
(2) Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡. Zbiór endomorfizmów V , End(V ), jest prze-
strzeni¡ wektorow¡, a ze wzgl¦du na składanie odwzorowa« algebr¡ ł¡czn¡, nieprze-
mienn¡.
(3) Endomorfizmy przestrzeni wektorowej R
n
uto»samiane s¡ z macierzami kwadrato-
wymi n×n. Składaniu odwzorowa« liniowych odpowiada mno»enie macierzy, wi¦c
przestrze« macierzy M(n) z działaniem mno»enia jest nieprzemienn¡ algebr¡ ł¡czn¡.
(4) W algebrze ł¡cznej (A,·) wprowadzamy działanie [ , ]:
[a,b] = a·b−b·a.
Dostajemy now¡ struktur¦ algebry. Oczywi±cie, [a,b] = −[b,a]. Ponadto, korzystaj¡c
z ł¡czno±ci,
[a, [b,c]] = a· (b·c−c·b) − (b·c−c·b) ·a
= (a·b−b·a) ·c−c· (a·b−b·a) + b· (a·c−c·a) − (a·c−c·a) ·b
= [[a,b],c] + [b, [a,c]],
czyli (A, [ , ]) jest algebr¡ Liego. W szczególno±ci, komutator daje struktur¦ algebry
Liego w End(V ) i w M(n). Mamy wi¦c w A dwie struktury algebry: ł¡cznej i Liego.
(5) Przestrze« X(M) pól wektorowych jest algebr¡ Liego ze wzgl¦du na komutator [ , ]
pól wektorowych.
(6) Podprzestrze«o(n) macierzy spełniaj¡cych warunek a
T
= −a tworz¡ podalgebr¦
algebry (M(n), [ , ]):
[a,b]
T
= (ab−ba)
T
= b
T
a
T
−a
T
b
T
= ba−ab = −[a,b].
W szczególno±ci, dla n = 3, mamy
2
4
3
5
2
4
3
5
−
2
4
3
5
2
4
3
5
=
2
4
3
5
,
0 −z
0
y
0
z
0
0 −x
0
−y
0
x
0
0 −z
0
y
0
z
0
0 −x
0
−y
0
x
0
−xy
0
+ x
0
y zx
0
−z
0
x
0
0 −z y
z 0 −x
−y x 0
0 −z y
z 0 x
−y x 0
xy
0
−x
0
y
−yz
0
+ y
0
z
0
−zx
0
+ z
0
x yz
0
−y
0
z
0
0
0
czylio(3) mo»na uto»sami¢ z z algebr¡ (R
3
,×) z iloczynem wektorowym wzgl¦dem
orientacji kanonicznej.
1
Definicja 1. Odwzorowanie liniowe D: A ! A nazywamy ró»niczkowaniem w algebrze,
je»eli dla ka»dej pary a,a
0
2 A mamy
D(a·a
0
) = a·D(a
0
) + D(a) ·a
0
.
Przykłady 2.
(1) To»samo±¢ Jacobiego w definicji algebry Liego oznacza, »e mno»enie jest ró»niczko-
waniem wzgl¦dem siebie.
(2) Pole wektorowe na rozmaito±ci jest ró»niczkowaniem w algebrze funkcji gładkich.
(3) Niech b¦dzie algebr¡ ł¡czn¡. Dla ka»dego f 2 odwzorowanie
D
f
: ! : g 7! f ·g−g·f = [f,g]
jest ró»niczkowaniem w :
D
f
(g·g
0
) = f·(g·g
0
)−(g·g
0
)·f = (f·g−g·f)·g
0
+g·(f·g
0
−g
0
·f) = D
f
(g)·g
0
+g·D
f
(g
0
).
Ró»niczkowanie takie nazywamy ró»niczkowaniem wewn¦trznym. Widzimy wi¦c, »e
komutator w algebrze ł¡cznej jest ró»niczkowaniem zarówno w algebrze ł¡cznej jak i
algebrze Liego (z komutatorem jako działaniem).
Oznaczmy przez Der() zbiór ró»niczkowa« w algebrze ł¡cznej . Oczywistym jest, »e
tworz¡ one przestrze« wektorow¡ oraz »e zło»enie dwóch ró»niczkowa« nie jest ró»niczko-
waniem.
Stwierdzenie 1. Niech a,b 2 Der(). Wówczas ich komutator ab−ba te» jest ró»niczko-
waniem w .
Dowod:
(ab−ba)(f ·g) = a(b(f) ·g + f ·b(g)) −b(a(f) ·g + f ·a(g))
= ab(f) ·g + fab(g) −ba(f) ·g−f ·ba(g)
= (ab−ba)(f) ·g + f · (ab−ba)(g)
Stwierdzenie 2. (Der(), [ , ]), gdzie [a,b] = ab−ba, jest algebr¡ Liego.
Dowod: [a,b] = −[b,a], wi¦c mno»enie jest antyprzemienne. Pokazujemy, »e spełniona jest
to»samo±¢ Jacobiego:
[a, [b,c]] = [a,bc−cb] = abc−acb−bca + cba
= abc−bac−cab + cba + bac−bca−acb + cab
= [[a,b],c] + [b, [a,c]].
Łatwo sprawdzi¢, »e
[D
f
,D
g
] = D
[f,g]
,
czyli ró»niczkowania wewn¦trzne tworz¡ podalgebr¦ algebry (Der(), [ , ]) i naturalne od-
wzorowanie 3 f 7! D
f
2 Der() jest homomorfizmem algebr Liego.
Przykładem powy»szej konstrukcji jest algebra Liego pól wektorowych na rozmaito±ci
M. Jako algebr¦ bierzemy algebr¦ funkcji gładkich na M. Pole wektorowe na M jest
ró»niczkowaniem w algebrze .
2
1.1. Ró»niczkowania mi¦dzy algebrami. Niech b¦d¡ dane dwie algebry i
0
, oraz
homomorfizm algebr F: !
0
, to znaczy jest to odwzorowanie liniowe zachowuj¡ce mno-
»enie:
F(ab) = F(a)F(b).
Liniowe odwzorowanie D: !
0
nazywamy F-ró»niczkowaniem, je»eli
D(ab) = D(a)F(b) + F(a)D(b).
Przykład: wektor v styczny do rozmaito±ci M w punkcie q jest ró»niczkowaniem z algebry
funkcji gładkich w algebr¦ liczb, wzgl¦dem homomorfizmu f 7! f(q).
Stwierdzenie 3. Zło»enie ró»niczkowania z homomorfizmem algebr jest ró»niczkowaniem
wzgl¦dem tego homomorfizmu.
Dowod: Proste przeliczenie.
2. Przestrze« dualna do algebry Liego.
Niech (A, [ , ]) b¦dzie algebr¡ Liego wymiaru sko«czonego. Mamy kanoniczny izomorfizm
mi¦dzy przestrzeni¡ wektorow¡ A i przestrzeni¡ funkcji liniowych na A
(przestrze« dualna).
Niech a ! a b¦dzie t¡ odpowiednio±ci¡. Zdefiniujmy nawias na funkcjach liniowych na A
{a,b} = [a,b]
(1)
Spełnia on to»samo±¢ Jacobiego, bo [ , ] j¡ spełnia i jest antyprzemienny. Zakładaj¡c speł-
nienie reguły Leibniza {f,gh} = g{f,h}+{f,g}h (nawias jest ró»niczkowaniem w algebrze
ł¡cznej funkcji na A
) mo»emy zdefiniowa¢ nawias na wszystkich funkcjach wielomiano-
wych, a przez ci¡głos¢ niemal jednostajn¡ na wszystkich funkcjach na A
. Nawias ten jest
struktur¡ Poissona na A
. I na odwrót, maj¡c liniowy nawias Poissona na A
(nawias
funkcji liniowych jest funkcj¡ liniow¡), mo»emy przez relacje (1) wprowadzi¢ w A struktur¦
algebry Liego. Mamy zatem wzajemnie jednoznaczn¡ odpowiednio±¢ mi¦dzy strukturami
algebry Liego w przestrzeni wektorowej A i liniowymi nawiasami Poissona na przestrzeni
dualnej A
.
Kilka uwag o strukturze Poissona na rozmaito±ci M. Mo»na j¡ zadawa¢ przez struktur¡
algebry Liego (nawias Liego) na funkcjach lub, równowa»nie, przez odzorowanie wi¡zek
wektorowych : T
M ! TM (warunek to»samo±ci Jacobiego jest tu trudniejszy do wypo-
wiedzenia). Nawias na funkcjach zadany jest wzorem
{f,g} = hdg, dfi.
W ka»dy punkcie rozmaito±ci M mamy podprzestrze« przestrzeni stycznej - obraz odwzoro-
wania . To»samo±¢ Jacobiego oznacza, »e podprzestrzenie te s¡ styczne do podrozmaito±ci
w M. Podrozmaito±ci te zadaj¡ foliacj¦ M. Li±cie tej foliacji nazywane s¡ li±¢mi symplek-
tycznymi struktury Poissona.
Przykład 3. Rozpatrujemy algebr¦ Liego (R
3
,×). Przestrze« dualn¡ do R
3
uto»samiamy
z R
3
. W tym uto»samieniu dostajemy dla funkcji współrz¦dniowych
{x,y} = z, {y,z} = x, {z,x} = y.
Aby zna¢ wektor styczny do rozmaito±ci, wystarczy wiedzie¢ jak działa na funcje współ-
rz¦dniowe, wi¦c, by za¢ (dx), wystarczy wiedzie¢, czemu s¡ równe hdx, (d)i, hdx, (d)i i
hdx, (d)i. Ale hdx, (d)i = {x,x} = 0, hdy, (d)i = {x,y} = z i hdz, (d)i = {x,z} = −y
i st¡d
(dx) = z
@
@y
−y
@
@z
.
Podobnie obliczamy (dy), (dz):
3
(x,y,z)
(dy) = −z
@
@x
+ x
@
@z
,
(x,y,z)
(dz) = −x
@
@y
+ y
@
@x
.
Zatem im
(x,y,z)
= {( x, y, z): xx + yy + zz = 0}, czyli jest to przestrze« styczna do sfery
o ±rodku w zerze. Li±¢mi symplektycznymi dla tej struktury Poissona s¡ sfery o ±rodku w
zerze.
W powy»szych rozwa»aniach zakładali±my wymiar sko«czony algebry. Przyjrzyjmy sie
przykładowi podstawowemu algebry Liego wymiaru niesko«czonego - algebrze pól wektoro-
wych na rozmaito±ci M. Istotne jest, by elementy z algebry Liego móc uto»sami¢ z funkcjami.
Pole wektorowe na M mo»na uto»sami¢ z funkcj¡ na T
M, liniow¡ na włóknach. Nawias
pól wektorowych indukuje wi¦c nawias na funkcjach liniowych na T
M. Nie wystarcza to
zdefniowania nawiasu Poissona dla wszystkich funkcji. Trzeba jeszcze wiedzie¢, jaki jest na-
wias funkcji stałych na włóknach mi¦dzy sob¡ i z funkcjami liniowymi. Nawiasy te wynikaj¡
z własno±ci nawiasu Liego pól wektorowych wzgl¦dem mno»enia pól przez funkcje. Mamy
[X,fY ] = f[X,Y ] + X(f)Y , czyli { X,f Y} = f{ X, Y} + X(f) Y , i st¡d { X,f} = X(f).
U»yli±my tu jednego oznaczenia dla funkcji na M i odpowiedniej funkcji, stałej na włók-
nach, na T
M. Równo±¢ {g X,f} = g{ X,f} + X{g,f}, implikuje {g,f} = 0, bo funkcja
liniowa i stała na włóknach jest równa zero. W ten sposób dostajemy nawias na wszystkich
funkcjach wielomianowych stopnia 1. St¡d, jak i dla algebry wymiaru sko«czonego, dosta-
jemy nawias Poissona na T
M. Jest to kanoniczny nawias Poissona na przestrzeni fazowej
(wi¡zce kostycznej).
3. Działania grupy.
Definicja 2. Lewym (prawym) działaniem grupy G na zbiorze X nazywamy odwzorowanie
: G×X ! X spełniaj¡ce dwa warunki
(1) (g, (h,x)) = (gh,x),
((g, (h,x)) = (hg,x))
(2) (e,x) = x.
Inaczej mówi¡c, zadaje homomorfizm (antyhomomorfizm) grupy G w grup¦ bijekcji
zbioru X. Maj¡c zadane lewe działanie , prawe działanie
¯
¯
(g,x) =
(g
−1
,x). Mo»emy wi¦c zawsze przej±¢ od działania lewego do prawego i z powrotem. Je»eli
zbiór ma jak¡± struktur¦ (rózniczkow¡, algebraiczn¡), to na ogół »¡damy, by bijekcje zbioru
X respektowały te struktury.
Przykład 4. Niech X b¦dzie sam¡ grup¡, X = G. Lewe (prawe) działanie L (G) grupy
G na sobie definiujemy przez
dostajemy kład¡c
L(g,h) = gh, L
g
(h) = L(g,h)
R(g,h) = hg, R
g
(h) = R(g,h)
Dla grupy Liego L
g
i R
g
s¡ dyfeomorfizmami, ale nie homomorfizmami grup. Dla ka»dego
g 2 G automorfizmam grupy jest odzorowanie
Ad
g
: G ! G: h 7! L
g
R
g
−1
h = ghg
−1
= R
g
−1
L
g
h,
Ad
g
(hh
0
) = ghh
0
g
−1
= ghg
−1
gh
0
g
−1
= Ad
g
(h) Ad
g
(h
0
).
Sprawdzamy, »e homomorfizmy Ad
g
definiuj¡ lewe działanie grupy na sobie:
Ad
gg
0
(h) = (gg
0
)h(gg
0
)
−1
= g(g
0
hg
0
−1
)g
−1
= Ad
g
(Ad
g
0
(h)).
Ad nazywane jest działaniem doł¡czonym (reprezentacj¡ doł¡czon¡) grupy. Zauwa»my tu,
»e Ad
g
(g) = ggg
−1
= g i »e dla grupy abelowej Ad
g
= id
G
.
4
4. Grupy Liego.
Grup¡ Liego nazywamy grup¦ b¦d¡c¡ rozmaito±ci¡ ró»niczkow¡ z ró»niczkowalnym dzia-
łaniem grupowym. Okazuje si¦, »e poci¡ga to za sob¡ analityczno±¢, czyli grupa Liego jest
rozmaito±ci¡ analityczn¡ z analitycznym działaniem grupowym. W pi¡tym problemie Hil-
berta postawione jest pytanie: czy grup¡ Liego jest grupa topologiczna (grupa jest przestrze-
ni¡ topologiczn¡ z ci¡głym działaniem grupowym)? Ostateczn¡ odpowied¹ daje Twierdzenie
Yamabe (1953):
Lokalnie zwarta grupa topologiczna bez małych podgrup jest grup¡ Liego.
Bez małych podgrup oznacza, »e istnieje otoczenie jedynki, które nie zawiera podgrupy. Tak
wi¦c, w kontek±cie grup Liego, ci¡gło±¢ implikuje ró»niczkowalno±¢, a nawet analityczno±¢.
5. Pola lewo- i prawo-niezmiennicze.
Definicja 3. Polem lewo-niezmienniczym na grupie Liego G nazywamy pole X spełniaj¡ce
równo±¢ (L
g
)
X = X dla ka»dego g 2 G.
Zast¦puj¡c L
g
przez R
g
dostajemy definicj¦ pola prawo-niezmiennicze. Oznacza to, »e je-
»eli krzywa : t 7! (t) 2 G reprezentuje wektor X(h) pola lewo-niezmienniczego (prawo-niez-
mienniczego), to krzywa g: t 7! g(t) (g: t 7! (t)g) reprezentuje wektor X(gh) (X(hg)).
I dalej, je»eli : t 7! (t) 2 G jest krzyw¡ całkow¡ pola lewo-niezmienniczego (prawo-niez-
mienniczego) X, to krzywa g (g) jest te» krzyw¡ całkow¡ tego pola. W szczególno±ci,
wynika st¡d, »e je»eli (0) = e, to zarówno s 7! (s + t) jak i s 7! (t)(s) s¡ krzywymi
całkowymi pola. Z jednoznaczno±ci dostajemy zatem
(s + t) = (t)(s) = (t)(s),
zarówno dla prawo- jak i lewo-niezmienniczych pól. Krzywa całkowa przechodz¡ca przez e
jest homomorfizmem grup :R! G (jest jednoparametrow¡ podgrup¡ grupy G).
Z definicji pola niezmienniczego wiemy, »e pole takie jest jednoznacznie wyznaczone przez
swoj¡ warto±¢ w jedno±ci grupy. Dla ka»dego v 2 T
e
G mamy w punkcie g 2 G dwa wek-
tory, nale»¡ce odpowiednio do lewo- i prawo-niezmienniczego pola. Jaka jest mi¦dzy nimi
relacja? Niech b¦dzie krzyw¡ reprezentuj¡c¡ wektor v 2 T
e
G. Krzywa g reprezentuje
wektor
v
X(g) odpowiedniego pola lewo-niezmienniczego, a krzywa g wektor X
v
(g) pola
prawo-niezmienniczego. St¡d g(t) = Ad
g
((t)g) oraz (t)g = Ad
g
−1
(g(t)) i st¡d
v
X(g) = T Ad
g
(X
v
(g)).
Stwierdzenie 4. Odwzorowanie I
G
: G ! G: g 7! g
−1
zadaje odpowiednio±¢ mi¦dzy po-
lami lewo- i prawo-niezmienniczymi.
Dowod: Niech b¦dzie jednoparametrow¡ podgrup¡ w G, wi¦c krzyw¡ całkow¡ pola lewo-
i prawo-niezmienniczego, odpowiadaj¡c¡ wektorowi v 2 T
e
G. Krzywa t 7! g(t) jest krzyw¡
całkow¡ pola lewo- niezmienniczego. Mamy
(g(t))
−1
= ((t))
−1
g
−1
= (−t)g
−1
,
wi¦c I
G
jest krzyw¡ całkow¡ pola prawo-niezmienniczego, odpowiadaj¡cego wektorowi
−v.
Mamy wi¦c (I
G
)
v
X = X
−v
.
6. Algebra Liego grupy Liego.
Stwierdzenie 5. Dla ka»dego dyfeomorfizmu : M ! N mamy
([X,Y ]) = [
X,
Y ]
Dowod: Niech f 2 C
1
(N). Dla dowolnego pola wektorowego X Mamy
(
X(f)) = X(f )
(2)
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]